2019학년도  1학년  5반  문제 변형 수업 (출제 의도 및 풀이)

1. 1503 김천(연습문제 12-14 변형)

2019학년도 문제변형 수업 해답지(/9쪽)

[변형 동기]

12-14에서는 단순히 직각삼각형의 세 변의 길이가 등차수열임을 이용하여 문제를 풀이하고 있다.

이 문제처럼 삼각형의 변의 길이와 관련해서 등차수열을 만들 수 있는 방법이 없을까 생각하다. 수학 (하)에서 배웠던 파푸스의 중선 정리가 떠올랐고, 등차중항을 나타나는 관계식과 형태가 같다는 것을 알게 되었다. 그래서 등차수열을 기하학적으로 접목시켜 문제를 만들게 되었다.

[풀이]

파푸스의 중선 정리에 의해 [eqn: {bar{AC}} ^{2} `+ {bar{DC}} ^{2} =2( {bar{AO}} ^{2} + {bar{CO}} ^{2} )]

[eqn: {bar{CO}} ^{2} =`b ^{2} +c ^{2} = {bar{BO}} ,`` {bar{AO}} ^{2} = {bar{DO}} ^{2}]

[eqn: THEREFORE {bar{AC}} ^{2} `+ {bar{DC}} ^{2} =2( {bar{AO}} ^{2} + {bar{CO}} ^{2} )=2( {bar{DO}} ^{2} + {bar{BO}} )]

등차중항의 꼴이므로, [eqn: {bar{AC}} ^{2} ,`( {bar{DO}} ^{2} + {bar{BO}} ), {bar{`DC}} ^{2}]는 등차수열을 이룬다.

실제 길이를 구해 공차를 구해보면,

[eqn: {bar{AC}} ^{2} =`(b+a) ^{2} +c ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab# {bar{DO}} ^{2} + {bar{BO}} `=`a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}# {bar{DC}} ^{2} `=`(b-a) ^{2} +c ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -2ab]

즉, 공차는 [eqn: -2ab] 이다. [답]

2. 1508 임상민(연습문제 13-18 변형)

[변형 동기]

수학의 정석 수I 연습문제 13-18을 보고, 일차식의 그래프가 아닌 이차 이상의 다항식의 그래프를 활용하는 문제로 폭을 넓히면 어떤 답이 나오고, 그 길이의 관계식은 어떻게 나올지 궁금하여 이 문제를 만들어 보았다.

[풀이]

그래프는 다음과 같은 형태로 나타난다.

[eqn: x _{Q _{n}} =- sqrt {{1} over {2} y _{Qn}} `(x _{P _{n}} =y _{Q _{n}} GEQ 0)# x _{Q _{n}} = sqrt {- {1} over {2} y _{Qn}} `(x _{P _{n}} =y _{Q _{n}} <0)# # x _{p _{n+1}} =y _{p _{n+1}} =x _{q _{n}} ,``x _{1} =10# LEFT | x _{Q _{1}} RIGHT | = sqrt {{1} over {2} LEFT | x _{P _{1}} RIGHT |} = sqrt {5} ,`2 LEQ sqrt {5} <3# ` LEFT | x _{Q _{2}} RIGHT | = sqrt {{1} over {2} LEFT | x _{P _{2}} RIGHT |} = sqrt {{1} over {2} sqrt {5}} ,`1 LEQ {1} over {2} sqrt {5} < {3} over {2} ,`1 LEQ sqrt {{1} over {2} sqrt {5}} < sqrt {{3} over {2}}# ` LEFT | x _{Q _{3}} RIGHT | = sqrt {{1} over {2} LEFT | x _{P _{3}} RIGHT |} = sqrt {{1} over {2} sqrt {{1} over {2} sqrt {5}}}]

[eqn: {1} over {2} LEQ sqrt {{1} over {2} sqrt {{1} over {2} sqrt {5}}} < sqrt {{1} over {2} sqrt {{3} over {2}}} <1], [eqn: P _{3}]까지 점이 찍힌다. 따라서, [eqn: n=2]

[eqn: {bar{P _{1} Q _{1}}} + {bar{P _{2} Q _{1}}} + {bar{P _{2} Q _{2}}} + {bar{P _{3} Q _{2}}}# =(10+ sqrt {5} ) TIMES 2+( sqrt {5} + sqrt {{1} over {2} sqrt {5}} ) TIMES 2=20+4 sqrt {5} + sqrt {2 sqrt {5}}]

[답]

[추가로 해보고 싶은 것]

[eqn: {bar{P _{1} Q _{1}}}]부터 [eqn: {bar{P _{n+1} Q _{n}}}]까지 길이의 합을 [eqn: n]에 관한 식으로 표현하는 것.

- 단, 문제의 조건 중 [eqn: y= {cases{y=2x ^{2}&(x<0)#y=-2x ^{2}&(x GEQ 0)}}] ->[eqn: y= {cases{y=x ^{2}&(x<0)#y=-x ^{2}&(x GEQ 0)}}]으로 바꾸어서 변형해보고 싶다.

3. 1512 정태화(연습문제 14-22 수식 증명)

[변형 동기]

수열의 합을 배울 당시 이 공식은 처음 봤을 때 매우 당황스럽고 놀라웠었으며, 이유가 매우 궁금하던 공식이었다. 그러나 정석 책에는 한 가지 방식으로만 되어있으며, 세제곱을 이용한 증명은 생략해서 더욱 아쉬웠다. 그래서 혼자서 생각해 여러 가지 방법으로 증명해보고, 친구들에게 꼭 알려주어 수학이 아름답고 신기한 학문이라는 것을 알려주고 싶은 마음이었다.

[풀이 1]

[eqn: `a _{n} =(n+1) ^{4} -n ^{4} =4n ^{3} +6n ^{2} +4n+1# S _{n} =a _{1} +a _{2} +a _{3} +...a _{n} =2 ^{4} -1 ^{4} +3 ^{4} -2 ^{4} ...+(n+1) ^{4} -n ^{4}# `````````=(n+1) ^{4} -1=4 sum _{k=1} ^{n} k ^{3} +6 sum _{k=1} ^{n} k ^{2} +4 sum _{k=1} ^{n} k+n]

[eqn: 4 sum _{k=1} ^{n} k ^{3} =(n+1) ^{4} -1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n# ````````````````````````=(n+1) ^{4} -n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1)# ````````````````````````=(n+1) LEFT { (n+1) ^{3} -n(2n+1)-2n-1 RIGHT }# ````````````````````````=(n+1)(n ^{3} +n ^{2} )=n ^{2} (n+1) ^{2}# # sum _{k=1} ^{n} k ^{3} = LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}]

■.

[풀이 2]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{3} =S _{n}# ````````S _{n} =1 ^{3} +2 ^{3} +...+n ^{3}# +S _{n} =n ^{3} +(n-1) ^{3} +...+1 ^{3}# 2S _{n} =(n+1)(n ^{2} -n+1)+(n+1) LEFT { (n-1) ^{2} -2(n-1)+4 RIGHT } +...# 2S _{n} =(n+1)( sum _{k=1} ^{n} k ^{2} - sum _{k=1} ^{n} k(n-k+1)+ sum _{k=1} ^{n} k ^{2} )# ````````````=(n+1) LEFT { 3 TIMES {n(n+1)(2n+1)} over {6} -n sum _{k=1} ^{n} k- sum _{k=1} ^{n} k RIGHT }# ````````````=(n+1) LEFT { {n(n+1)(2n+1)} over {2} - {n ^{2} (n+1)} over {2} - {n(n+1)} over {2} RIGHT }# ````````````= {n(n+1) ^{2}} over {2} (2n+1-n-1)= {n ^{2} (n+1) ^{2}} over {2}# sum _{k=1} ^{n} k ^{3} = LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}]

■.

[풀이 3] - 이 풀이는 직감적이나 올바르지는 않음

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k`` RARROW int _{0} ^{n} {k``dk} `= {n ^{2}} over {2}# sum _{k=1} ^{n} k ^{3} `` RARROW int _{0} ^{n} {k ^{3} ``dk} `= {n ^{4}} over {4} = LEFT ( {n ^{2}} over {2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k RIGHT ) ^{2} = LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}]

■.

[풀이 4]

쌓기나무를 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

[eqn: RARROW ``` sum _{k=1} ^{n} k`= {n(n+1)} over {2}]

[eqn: RARROW ``` sum _{k=1} ^{n} k ^{3} `=?]

위에서 이들을 본 모습은 다음과 같다.

[eqn: n ^{2} +2 TIMES {n ^{2} (n-1)} over {2} =n ^{3}], 따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{3} = LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}]■.

4. 1507 오유신(연습문제 13-11 변형)

[변형 동기]

이 문제는 수학의 정석(홍성대 저) 수학 I 13. 등비수열 단원의 연습문제 13-11을 변형한 문제이다. 이 연습문제를 풀어본 후, 이 연습문제가 이것을 푸는 학생으로 하여금 무엇을 알고 있는지 물어보는지를 고민하였는데, 연습문제 13-11의 풀이를 보면 이차함수 [eqn: f(x)]의 미정계수인 [eqn: a,`b,`c]를 완성하라는 문제였다. 개인적으로 이 연습문제가 실력 문제로 분류되고 있음에도 불구하고 상당히 쉽게 풀려서 실력 문제 느낌이 나지 않았던 관계로 매우 아쉬웠는데, 이 문제를 응용하여, 복잡한 수열의 점화식, 2단원의 로그와 관련한 성질, 그리고 수학 상에서 배웠던 이차함수의 최대-최소와 관련한 성질을 사용하여 문제를 조금 복잡한 조건들로 변형하여 구성하면 괜찮을 것 같다는 생각이 들었다. 그리고, 계수도 그냥 평범하게 주기는 뭔가 아쉬워서 특정한 관계가 있으면 좋을 것 같다는 생각과, 등차수열과 관련된 식을 함수의 최고차항의 계수는 0이 아님을 응용하여 문제를 만들면 더욱 좋을 것 같다는 생각이 들어서, 정석 연습문제 13-11번 문항을 위와 같이 변형하였다.

[풀이]

기본적인 풀이의 근본적인 해법은 정석 연습문제 13-11과 동일하다. 그러나, 함수 [eqn: g(x)]가 이차함수임을 발견하기와, 그 계수가 특정한 관계를 가진다는 것을 발견하는 단계, 그리고, 조건 (나)가 조화중항을 의미하고 있음을 발견하는 것이 조금 복잡해졌을 뿐이다.

주어진 수열 {[eqn: a _{x}]}에 대한 식 [eqn: {a _{x+1}} over {10 ^{a}} +2(1-10 ^{-a} )=a _{x}]을 정리하면 [eqn: a _{x+1} +2 TIMES 10 ^{a} -2=10 ^{a} a _{x}]이고, 이는 [eqn: a _{x+1} -2=10 ^{a} (a _{x} -2)]로 변형할 수 있다. 이 때, 양변에 나타나는 형태가 유사하기 때문에, [eqn: a _{x} -2=b _{x}]로 치환하면, [eqn: b _{x+1} =10 ^{a} b _{x}]이므로, 수열 {[eqn: b _{x}]}는 첫째항이 [eqn: b _{1} =a _{1} -2=10 ^{b}]이고 공비가 [eqn: 10 ^{a}]인 등비수열이다. 따라서, 수열 {[eqn: b _{x}]}의 일반항
[eqn: b _{x} =10 ^{b} TIMES 10 ^{a(x-`1)} =10 ^{ax-a+b}]이다.

문제의 조건에서
[eqn: f(x)`=`log(a _{x} -2)=log(b _{x} )=log(10 ^{ax-a+b} )=ax-a+b]이므로,

[eqn: g(x)`=`xf(x)+c=x(ax-a+b)+c=ax ^{2} -(a-b)x+c]이다.

따라서 [eqn: g(x)]는 이차함수이고, 이차항의 계수 [eqn: A=a],

[eqn: [ {n} over {2} ]=[ {2} over {2} ]=[1]=1]에서, 일차항의 계수 [eqn: B=-(a-b)]이다. 한 편, [eqn: A+B=a-(a-b)=b]이다.

(가) 조건에서, [eqn: A,`c,`A+B]. 즉 [eqn: a,`c,`b]는 이 순서대로 공비가 1이 아닌 등비수열을 이루므로, 이 등비수열의 공비를 [eqn: r]이라 하면, [eqn: c=ar], [eqn: b=ar ^{2}]이다.

(나) 조건에서, [eqn: A+B-c+ {Bc} over {A} =0], 즉, [eqn: b-c= {(b-a)c} over {a} =0]이고,

이를 정리하면 [eqn: {2} over {b} = {1} over {a} + {1} over {c}]이고, 이 관계식에 (가) 조건에서 구한 [eqn: c=ar], [eqn: b=ar ^{2}]를 대입하면, [eqn: {2} over {ar ^{2}} = {1} over {a} + {1} over {ar}]에서, [eqn: r ^{2} +r-2=(r+2)(r-1)=0], 한 편, 문제의 조건에서 [eqn: r != 1]이므로, [eqn: r=-2].

따라서, [eqn: c=-2a,`b=4a]이고, 이를 [eqn: g(x)]의 식에 대입하여 정리하면, [eqn: g(x)=ax ^{2} +3ax-2a].

(다) 조건에서,
[eqn: g(x)=ax ^{2} +3ax-2a=a(x ^{2} +3x-2)=a(x ^{2} +3x+ {9} over {4} )- {17} over {4} a]인데,
[eqn: g(x)]의 정의역이 실수 전체의 집합일 때, 최솟값은 [eqn: x=- {3} over {2}]에서 [eqn: - {17} over {4} a=-17]이므로, [eqn: a=4].

따라서, 구하는 함수 [eqn: g(x)=4x ^{2} +12x-8]. 단, 수열 [eqn: LEFT { a _{x} RIGHT }]에서 [eqn: x]의 정의역은 자연수임에 유의하여, [eqn: g(x)=4x ^{2} +12x-8(x IN N)]. [답]

5. 1513 조은모(연습문제 14-18 변형)

[변형 동기]

연습문제 14-18을 보고 나서, 함수를 지정하여 함숫값을 모두 더하는 문제를 만들고 싶어 이 문제를 변형하게 되었고, 선생님께서 나머지를 이용하여 수열을 만들 수 있다고 하셔서 함수를 나머지에 관한 문제로 만들게 되었다.

[풀이]

(1) 대략적인 개형을 보면 다음과 같다.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
0	3	6	9	12	15	18	21	1	4	7	10	13	16

14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
19	22	2	5	8	11	14	17	20	0	3	6	9

대수적인 풀이 말고 문자로 풀이하자면

의 모양을 나타내게 된다.

이 수열은 반복되는 수열인데, 1세트에 αβ-1개의 수가 있다. 따라서 (1)의 정답은 0부터 αβ-2까지 수의 합 + αβ-1부터 n까지 수의 합이 될 것이다.

1세트에 들어있는 수의 합은
[eqn: {beta ( beta -1) alpha } over {2} TIMES alpha + beta {( alpha -1) LEFT { 2+ LEFT ( alpha -2 RIGHT ) RIGHT }} over {2} -( alpha beta -1)]이다. (1)의 경우,

한 세트가 1개(253)당 23에서 26까지 더하면 되므로

답은 271. [(1)의 답]

*Note (1)

더 쉽게 구할 수 있는 방법이 있다. 생각해보면 1세트에 1부터 αβ-2까지 수가 있는 것을 볼 수 있다. 따라서 한 세트의 합은
[eqn: {( alpha beta -2)( alpha beta -1)} over {2}]

(2) 풀이의 방법론은 (1)과 같다. 그러나 (2)에서는 총 3세트가 있으므로

[eqn: {beta ( beta -1) alpha } over {2} TIMES alpha + beta {( alpha -1) LEFT { 2+ LEFT ( alpha -2 RIGHT ) RIGHT }} over {2} -( alpha beta -1)=4005]에 3을 곱하고 271~290까지 더하면 된다. 271부터 283까지의 합은 등차수열의 합 공식에서 [eqn: {13 TIMES (13-1) TIMES 7} over {2} =546]이며, 284~290까지 더하면 [eqn: {7` TIMES (6` TIMES `7)} over {2} =154]에서, 정답은 12715. [(2)의 답]

6. 1516 하헌주(연습문제 14-18 변형)

[변형 동기]

평소에 집합에서 벤 다이어그램을 그릴 때에 왜 4개의 집합부터는 벤 다이어그램으로 나타내지 못하는지 궁금했는데 필수예제 15-6번 문제를 통해 그 답을 찾을 수 있다는 것을 알게 되었다. 따라서 문제를 벤 다이어그램으로 나타낼 수 있는 집합의 개수의 최댓값을 묻는 문제로 바꾸어 보았고, 또한 원으로 평면을 분할할 때의 분할된 평면의 개수를 구할 수 있다면 구로 공간을 분할할 때의 분할된 공간의 개수도 구할 수 있다고 생각하고 그 때의 일반항은 어떻게 될지 궁금하여 출제하게 되었다.

[풀이]

(1) 벤 다이어그램을 그릴 때에는 원으로 평면을 분할하게 되는데, 이 때 집합으로 표현할 수 있는 영역이 모두 분할된 영역에 나타나야 하므로 n개의 집합에서는 [eqn: 2 ^{n}]개로 나타나야 한다. 따라서 일반항을 구하기 위해 규칙을 이용하여 점화식을 세운다.

n개의 원이 평면 위에 나타나 있는 경우 가장 많은 영역이 생기도록 원 하나를 그릴 때에 교점은 2n개 발생하고, 이 점들 각각은 새롭게 만들어지는 영역들에 하나씩 대응된다. 따라서 점화식을 세워보면
[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2n]이 성립한다.

이 때 일반항을 구하기 위한 풀이법으로는 축차대입법을 이용한 풀이와 계차수열의 일반항을 이용한 풀이가 있는데, 여기에서는 계차수열의 일반항을 이용한 방법으로 풀이한다.

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} b _{k} `(n >= 2)]의 계차수열 일반항 공식을 이용할 때,

[eqn: a _{1} =2] 이고 각 항의 차로 이루어진 수열의 일반항 [eqn: b _{k} =2k]이므로 일반항을 구해보면

[eqn: a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 2k=2+2 TIMES {n(n-1)} over {2} =n ^{2} +n+2]

임을 확인할 수 있다.

따라서, 일반항 [eqn: a _{n} =n ^{2} +n+2]. [(1)의 답]

(2)

구 1개를 그리면 공간은 두 개의 영역으로 나뉜다. 이제 n개의 구로 주어진 공간을 분할하여 [eqn: K _{n}]개의 영역을 얻었다고 하자. 구 한 개를 최대한 많은 공간으로 분할하도록 작도하였을 때 새롭게 생기는 교선인 원의 개수는 n개가 된다. 이를 시각화하기 위해 그림으로 나타내보면 몇 개의 교선이 나타나는지 쉽게 확인해볼 수 있다.

이 때 새로운 구 [eqn: S _{n+1}]을 작도해 보면 그로 인해 생기는 교선인 원들로 인해 구 [eqn: S _{n+1}]의 표면을 최대 [eqn: L _{n} =n ^{2} -n+2] 개의 영역으로 나뉘게 된다. 그리고 이 분할된 영역들은 각각 하나씩 새로운 공간에 대응되므로 다음과 같이 점화식을 나타낼 수 있다.

[eqn: K _{n+1} =K _{n} +L _{n}# ```````````````````=K _{n} +n ^{2} -n+2]

이 때 계차수열의 일반항을 이용하여 일반항을 구해보면

[eqn: K _{1} =2# L _{k} =k ^{2} -k+2# K _{n} =K _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} `L _{k} `# ``````````=`2+ sum _{k=1} ^{n-1} k ^{2} - sum _{k=1} ^{n-1} k+ sum _{k=1} ^{n-1} (2)# ```````````= {n(n ^{2} -3n+8)} over {3}]

[(2)의 답]

7. 1515 최세현(연습문제 14-20 변형)

[변형 동기]

로그함수와 역함수의 관계를 물어보고 동시에 기하학적 해석, 수열의 합에 대한 방법을 한 번에 물어보기 위해서 출제했다.

[풀이]

두 곡선은 역함수 관계이다. 그리고 증가함수이다. 따라서 [eqn: y=x]와
[eqn: y=log _{2} x+27]가 이루는 도형 내부의 점 개수부터 구하자.

(i) 교점 구하기

[eqn: y=x]와  [eqn: y=log _{2} x+27]의 교점을 구하자.

[eqn: x LEQ log _{2} x+27`` RARROW ``2 ^{x-27} LEQ x]이를 만족하는 [eqn: x]의 값은 1~32.

두 교점을 [eqn: x _{1} ,`x _{2} (x _{1} LEQ x _{2} )]라고 하면 [eqn: 0<x _{1} <1,``x _{2} =32]

(ii) [eqn: y=log _{2} x+27]와 [eqn: x]축, [eqn: x=32]사이 공간의 점 개수 구하기

[eqn: x=1]에서, [eqn: f(1)=27]이다.

위의 그래프로부터 만들어진 도형의 정수 점은
[eqn: 1 LEQ x LEQ 31이고`1 LEQ y LEQ 26]인 직사각형 부분과 [eqn: y GEQ 27]에서의 상어 지느러미 모양의 부분으로 나눌 수 있다.

[eqn: 1 LEQ x LEQ 31이고`1 LEQ y LEQ 26]인 직사각형 부분(위 그림에서 녹색 부분)의
점의 개수는 [eqn: 26` TIMES `31=806].

[eqn: y=k]와 [eqn: y=log _{2} x+27]의 교점의 x좌표는 [eqn: log _{2} x+27=k에서] [eqn: x=2 ^{k-27}].

그런데 직선 [eqn: y=k]([eqn: 27 LEQ k LEQ 31]) 위에 있으며 x, y좌표가 모두 정수인 점은

[eqn: (2 ^{k-27} +1,k),(2 ^{k-27} +2,k)]…[eqn: (31,k)]이므로 그 개수는 [eqn: 31-2 ^{k-27}]

[eqn: sum _{k=27} ^{31} (31-2 ^{k-27} )=31 TIMES 5- {1(2 ^{5} -1)} over {2-1} =155-31=124]

∴[eqn: y=log _{2} x+27]와 x축, [eqn: x=32]사이 공간의 점 개수=(직사각형 부분)+([eqn: y=k]와 [eqn: y=log _{2} x+27]의 교점의 점 개수)=806+124=930.

(iii) [eqn: y=x]와  [eqn: y=log _{2} x+27]가 이루는 도형 내부의 점 개수

구하는 것은 ([eqn: y=log _{2} x+27]와 x축, [eqn: x=32]사이 공간의 점 개수)-([eqn: y=x], [eqn: x=31], [eqn: y=1]의 위에 있는 점 개수와 세 직선의 방정식이 만드는 도형 내부의 점 개수)이다.

[eqn: y=x], [eqn: x=31], [eqn: y=1]의 위에 있는 점 개수와 세 직선의 방정식이 만드는 도형 내부의 점 개수를 구하자

(내부의 점 개수)=1+2+3+…+31=[eqn: {31 TIMES 32} over {2}]=496

(iv) 답 구하기

[eqn: y=x]와  [eqn: y=log _{2} x+27]가 이루는 도형 내부의 점 개수 =
([eqn: y=log _{2} x+27]와 x축, [eqn: x=32] 사이 공간의 점 개수)-([eqn: y=x], [eqn: x=31], [eqn: y=1]의 위에 있는 점 개수와 세 직선의 방정식이 만드는 도형 내부의 점 개수)에서,

[eqn: y=x]와 [eqn: y=log _{2} x+27]가 이루는 도형 내부의 점 개수=930-496=434.

[eqn: y=f(x)=log _{2} x+27]과 [eqn: y=2 ^{x-27}]로 둘러싸인 도형의 내부에 있고 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수=2×434+(도형 내부에 있는 [eqn: y=x] 위의 점 개수)=864+31=899. [답]

8. 1515 최세현(연습문제 14-2 변형)

[변형 동기]

점대칭인 지수함수에서 점대칭의 성질을 이용하여 수열의 합을 편하게 하고 일반화 할 수 있는지 물어보기 위해서 출제했다.

[풀이]

(1) [eqn: f(x)= {alpha ^{x}} over {alpha ^{x} +1}] 라고 하면 [eqn: f(x)+f(-x)=1]을 만족한다.
([eqn: f(x)]는 [eqn: (0,` {1} over {2} )]에 점대칭이다)

따라서 (준 식)={f(n)+f(-n)}+{f(n-1)+f(1-n)}+…+{f(1)+f(-1)}+f(0)=n+[eqn: {1} over {2}].

[(1)의 답]

(2) [eqn: g(x)= {alpha ^{x}} over {alpha ^{x} + alpha ^{n}}]라고하면 [eqn: f(x-n)=g(x)]임을 알 수 있다.

즉, g(x)는 f(x)를 x방향으로 n만큼 평행이동 한 것이고 g(x)의 대칭점은 [eqn: (n,` {1} over {2} )]이 된다. 한 편, f(x)+f(2n-x)=1이다. 따라서,
(준 식)= {f(2n)+f(0)}+{f(2n-1)+f(1)}+…+{f(n+1)+f(n-1)}+f(n)=n+[eqn: {1} over {2}].

[(2)의 답]

9. 1520 황신영(연습문제 15-25 변형)

[변형 동기]

정석 문제에서 주어진 조건이 a,b 대신 [eqn: 4+ sqrt {15}]과 [eqn: 4- sqrt {15}]라고 주어져있었다. 그 두 개를 이차방정식의 두 근이라고 생각하여 일반화와 비슷한 방식으로 문제를 만들어 보았다.

[풀이]

[eqn: f(n)=p TIMES sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k+1} TIMES a ^{k} TIMES n ^{n-k}]의 식을 전개하여 곱해보면
[eqn: f(n)=a ^{n} +b ^{n}]과 같은 식이 나온다. 여기서 f(1)과 f(2)의 값을 구해보면 자연수가 나온다. 그리고 이차방정식의 두 근 a, b에서 두 근을 대입하면 [eqn: a ^{2} +pa+q=0]과 [eqn: b ^{2} +pb+q=0]다음과 같은 식이 나온다. 이 두 식에 각각 [eqn: a ^{n} 과```b ^{n}#]을 곱하고 두 식을 더하면

[eqn: (a ^{n+2} +b ^{n+2} )+p(a ^{n+1} +b ^{n+1} )+q(a ^{n} +b ^{n} )=0]과 같은 식이 나온다.

이 식을 f(n)을 이용하여 표현하면 [eqn: f(n+2)=-pf(n+1)-qf(n)].

f(n+1)과 f(n)이 자연수이면 f(n+2)가 정수이다. f(2)과 f(1)이 자연수이므로 모든 자연수 n에 대하여 f(n)은 정수가 된다. ■.

10. 1510 장지원(연습문제 13-17 변형)

[변형 동기]

문제를 풀다가 이전에 거울에 반사되는 문제에 대해 반사각을 일반화되는 관계가 생각나서 한번 조합해 보면 어떨까라고 생각해 문제를 만들게 되었다. 연습문제 13-17은 복리와 관련된 문제로, 연봉 인상률이 계속 증가하는 특징을 보인다. 변형된 본 문제에서는 연봉 인상률의 증가처럼 변화를 주지는 않았으나, 공비가 두수의 곱으로써 표현되게 되어있어 비율을 변화시키는 방식을 달리했다. 여기에 수학(상) 연습문제 14-9번 문제를 혼합하여 반사된 후의 빛의 세기와 반사각의 두 일반항을 함께 생각해내고, 이를 조건에 맞추어 최종적으로 조합하는 형태이므로, 단순히 공식 대입에 지나지 않을 수 있는 문제를 한 번 더 생각하도록 했다. 비슷한 논리가 전혀 다른 상황에도 적용됨을 알 수 있어 수학 (상)의 연습문제 14-9번의 심화 문제라고 할 수 있겠다.

[풀이]

(1) n번 반사된 후 공간을 진행하는 빛의 세기를 [eqn: a _{n}]이라고 하면,

한 번 반사된 빛의 세기는 [eqn: a _{1} = {1} over {r} (1+ {k} over {100} )I],

2번 반사된 빛의 세기는 [eqn: a _{2} =( {1} over {r} ) ^{2} (1+ {k} over {100} ) ^{2} I] 이므로 n회 반사된
빛의 세기는 [eqn: a _{n} = LEFT { LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) LEFT ( 1+ {k} over {100} RIGHT ) RIGHT } ^{n} I]이다.

반사의 법칙을 만족하므로 입사각과 반사각의 크기는 같다.

n번 반사된 후 거울과 이루는 각의 크기(이를 반사각이라 정의하자)를 [eqn: b _{n}]이라 하면,

첫 번째 반사각은 [eqn: b _{1} = theta + PHI], 두 번째 반사각은 [eqn: b _{2} = theta +2 PHI]

n번째 반사각은  [eqn: b _{n} = theta +n PHI] 이다.

n번 반사된 이후 검출기에 수직으로 입사해야 하므로 삼각형 두 내각의 합 [eqn: b _{n} + PHI =90 DEG]의 조건을 만족해야한다.

[eqn: (n+1) PHI + theta =90 DEG]이므로 [eqn: n= {90-( theta + PHI )} over {PHI }]이다.

따라서 최종 도달한 빛의 세기는 [eqn: LEFT { LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) LEFT ( 1+ {k} over {100} RIGHT ) RIGHT } ^{{90-( theta + PHI )} over {PHI }} I].

[(1)의 답]

(2) 최종 도달한 후 빛의 세기가 10[eqn: I]이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: LEFT { LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) LEFT ( 1+ {k} over {100} RIGHT ) RIGHT } ^{n} I=10I], [eqn: LEFT ( 1+ {k} over {100} RIGHT ) LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) =10 ^{1/n}].
이를 정리하면 [eqn: r=10 ^{-1/n} LEFT ( 1+ {k} over {100} RIGHT )]이므로,

[eqn: THEREFORE r=10 ^{- {PHI } over {90-( theta + PHI )}} (1+ {k} over {100} )] [(2)의 답]

11. 1517 허태규(연습문제 15-20 변형)

[변형 동기]

기존의 점화식을 원을 이용해 나타낼 수 있는 방법을 끊임없이 고민했다. 그저 점화식을 풀어 단순히 일반항을 구하는 문제가 아닌, 기하를 도입함으로써 복합적인 사고를 요구하고, 우리가 알고 있는 기하 법칙을 이용해 점화식까지 성공적으로 유도해내고 기존의 정석 연습문제에 있는 점화식의 유형을 활용하여 일반항 유도 및 문제에서 요구한 수열의 합까지 구해내는 수열에서 필요한 여러 역량을 요구한다.

[풀이]

[eqn: n=4]일 때 까지 반복하면 위와 같은 그림이 그려진다.

[eqn: a _{n} = {bar{AP _{n}}}], [eqn: b _{n} = {bar{BQ _{n}}}]로 정의하자.

이 중에서 [eqn: TRIANGLE AP _{n} P _{n+1}], [eqn: TRIANGLE BQ _{n} Q _{n+1}]만 그려보면 다음과 같다.

여기서 피타고라스 정리를 이용하여 점화식을 세운다.

[eqn: {cases{a _{n+1}^{2} =a _{n}^{2} +4b _{n}^{2}&#b _{n+1}^{2} =b _{n}^{2} +4a _{n}^{2}&}} a _{1} =3,`b _{1} =5```(a _{i} >0,`b _{i} >0)]

[eqn: a _{n}^{2} =c _{n}], [eqn: b _{n}^{2} =d _{n}]으로 치환한다.

[eqn: {cases{c _{n+1} =c _{n} +4d _{n}&#d _{n+1} =d _{n} +4c _{n}&}}][eqn: c _{1} =9,```d _{1} =25]

[eqn: {BOX{1}} + {BOX{2}}]

[eqn: (c _{n+1} +d _{n+1} )=5(c _{n} +d _{n} )# RARROW ``c _{n} +d _{n} =(c _{1} +d _{1} ) BULLET 5 ^{n-1} =34 BULLET 5 ^{n-1}]

[eqn: {BOX{1}} - {BOX{2}}]

[eqn: (c _{n+1} -d _{n+1} )=-3(c _{n} -d _{n} )# RARROW `c _{n} -d _{n} =(c _{1} -d _{1} ) BULLET (-3) ^{n-1} =(-16) BULLET (-3) ^{n-1}]

두 식을 연립하면

[eqn: c _{n} =17 BULLET 5 ^{n-1} -8 BULLET (-3) ^{n-1}], [eqn: d _{n} =17 BULLET 5 ^{n-1} +8 BULLET (-3) ^{n-1}]

구하고자 하는 삼각형의 넓이의 합은

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ( TRIANGLE AP _{k} P _{k+1} ) ^{2} = sum _{k=1} ^{n} ( {1} over {2} BULLET a _{k} BULLET 2b _{k} ) ^{2} = sum _{k=1} ^{n} c _{k} d _{k}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (17 BULLET 5 ^{k-1} -8 BULLET (-3) ^{k-1} )(17 BULLET 5 ^{k-1} +8 BULLET (-3) ^{k-1} )# = sum _{k=1} ^{n} (289 BULLET 25 ^{k-1} -64 BULLET 9 ^{k-1} )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (289 BULLET 25 ^{k-1} -64 BULLET 9 ^{k-1} )=289 sum _{k=1} ^{n} 25 ^{k-1} -64 sum _{k=1} ^{n} 9 ^{k-1}]

[eqn: =289 BULLET {25 ^{n} -1} over {25-1} -64 BULLET {9 ^{n} -1} over {9-1} = {289} over {24} BULLET 25 ^{n} -8 BULLET 9 ^{n} - {97} over {24}] [답]

12. 1511 전서율(연습문제 14-20 변형)

[변형 동기]

연습문제에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하라고 했는데. 이 문제를 예전에 또 다른 연습문제에서 봤던 정사각형의 개수 세기 문제와 연결시켜서 만들어 보면 어떨까 하는 생각을 가지게 되었고, 또 이를 일상생활에 어떻게 연결시킬 수 있을까 고민하다가 만들게 되었다.

[풀이]

20

이 언덕의 최고점을 정남에서 올려다본 각도가 [eqn: 30 DEG]이고, 정동에서 올려다본 각의 크기가 [eqn: 45 DEG]이다.

이를 통하여 삼각형 두 개를 그릴 수 있다. (연두색 직각삼각형) 여기에서 x는 언덕의 높이이다. 정남에서 올려다보았을 때 올려다본 각도가 [eqn: 30 DEG]이므로 밑변은 [eqn: x sqrt {3}]이고, 정동에서 올려다보았을 때 올려다본 각도가 [eqn: 45 DEG]이므로 밑변은 [eqn: x]이다.

두 지점 사이는 20m 떨어져 있다. 각각 정남과 정동에서 올려다보았기 때문에 두 지점 사이의 각도는 [eqn: 90 DEG]로, 직각삼각형을 그릴 수 있다. (황토색 직각삼각형) 따라서

[eqn: x ^{2} +(x sqrt {3} ) ^{2} =20 ^{2}]이라는 식을 세울 수 있고, 이 식을 풀어주게 되면

[eqn: x ^{2} +3x ^{2} =400], [eqn: 4x ^{2} =400], [eqn: x ^{2} =100], [eqn: x=10`( BECAUSE x>0)]라는 결과를 얻을 수 있다. 따라서 산의 최고점의 높이는 10m이다.

이를 통해 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프를 [eqn: 0 LEQ y LEQ 10] 범위에서 그려 주게 되면

이러한 모양이 되고, [eqn: y=log _{2} x]이기 때문에 x의 범위는 [eqn: 1 LEQ x LEQ 1024]가 된다.

문제에서 구하고자 하는 것은 [eqn: 1 LEQ x LEQ 1024]까지 들어가는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 개수를 물어보는 것이기 때문에, 그림을 그려 보게 되면

이와 같은 모양이 된다.

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2]의 범위에서 정사각형은 0층까지 쌓이고, [eqn: 2 LEQ x LEQ 4]의 범위에서 정사각형은 1층까지 쌓이고, [eqn: 4 LEQ x LEQ 8]의 범위에서 정사각형은 2층까지 쌓이고, [eqn: 8 LEQ x LEQ 16]의 범위에서 정사각형은 3층까지 쌓이고, ⋯ 이런 규칙을 따라서 쌓이기 때문에 총 정사각형의 개수는 [eqn: 2 TIMES 1+4 TIMES 2+8 TIMES 3+ CDOTS +512 TIMES 9]개다. 따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{9} (k TIMES 2 ^{k} )]를 계산해 주면 된다.

[eqn: sum _{k=1} ^{9} (k TIMES 2 ^{k} )]에서 멱급수를 계산하게 되면

[eqn: ````S _{9} =1 TIMES 2 ^{1} +2 TIMES 2 ^{2} +3 TIMES 2 ^{3} + BULLET BULLET BULLET +9 TIMES 2 ^{9}# 2S _{9} =`````````````````````````````1 TIMES 2 ^{2} +2 TIMES 2 ^{3} + BULLET BULLET BULLET +8 TIMES 2 ^{9} +9 TIMES 2 ^{10}]

두 식을 변변 빼 주면

[eqn: -S _{9} =1 TIMES 2 ^{1} +1 TIMES 2 ^{2} +1 TIMES 2 ^{3} + BULLET BULLET BULLET +1 TIMES 2 ^{9} -9 TIMES 2 ^{10}]

[eqn: -S _{9} = {2 TIMES (2 ^{9} -1)} over {2-1} -9 TIMES 2 ^{10}], [eqn: ````-S _{9} =2 ^{10} -2-9 TIMES 2 ^{10}]

[eqn: THEREFORE S _{9} =8 TIMES 2 ^{10} +2=1024 TIMES 8+2=8194]이 된다.

따라서 정사각형의 개수는 총 8194개이다. [답]

13. 1511 전서율(필수 예제 14-11, 14-12 통합 변형)

[변형 동기]

예제 14-11번에서 사용한 군수열을 이용한 문제를 만들고 싶었고. 책에서 나온 문제와 다르지만 참신한 문제를 만들기 위하여 동굴 문제를 만들게 되었다. 또한 14-12번처럼 규칙성이 나타날 때까지 처음 몇 항을 직접 구해 보되, 그 수가 너무 많지 않게 문제를 만들었다.

[풀이]

예를 몇 가지 들어 보겠다.

(1) 4명이 있을 때

1,2,3,4 -> 1,2,3,4 -> 1,2,3,4 -> 1,2,3,4

: 따라서 1번째 사람이 남게 된다.

(2) 7명이 있을 때

1,2,3,4,5,6,7 -> 1,2,3,4,5,6,7 -> 1,2,3,4,5,6,7 -> 1,2,3,4,5,6,7
-> 1,2,3,4,5,6,7 -> 1,2,3,4,5,6,7
: 따라서 7번째 사람이 남게 된다.

이를 통해서 처음 몇 개의 항을 직접 구해 보면

1명 – 1번, 2명 – 1번, 3명 – 3번, 4명 – 1번, 5명 – 3번, 6명 – 5번,

7명 – 7번, 8명 – 1번, ⋯ 의 결과가 나오게 된다.

결과를 해석하여 보면 [eqn: a _{n} =2 ^{k} `(k >= 0인`정수)]이 될 때가 다시 1번으로 바뀌는 전환점이라는 것을 찾을 수 있다.

사람이 n명 있을 때 선택해야 하는 번호를 [eqn: a _{n}]이라고 하면 이 수열은 [eqn: 1,1,3,1,3,5,7, CDOTS]의 형태이다. 따라서 군수열의 형태로 풀어야 한다는 것을 알 수 있다.

① 그룹이 편성되는 규칙

제n군에는 [eqn: 2 ^{n-1}]개의 항이 있다. 따라서 제(n-1)군까지는
[eqn: sum _{k=1} ^{n} 2 ^{k-1} =2 ^{n} -1]개의 항이 있다.

② 그룹 내의 규칙

그룹 내 m번째 항은 [eqn: 2m-1]이다.

따라서 군수열의 규칙을 알았기 때문에 [eqn: a _{20} ,``a _{101}]을 구할 수 있다.

⑴ [eqn: a _{20}]

어느 군인지 알기 위해서 부등식을 세워 보면

[eqn: 2 ^{n} -1<20], [eqn: 2 ^{n} <21], [eqn: n<5]라는 것을 알 수 있다. 따라서 제4군에 속해 있다.

제3군까지 항의 개수는 [eqn: 2 ^{4} -1]=15개이고, 따라서 20번째 항은 제4군 5번째 항이라는 것을 알 수 있다. 따라서 [eqn: a _{20} `=2` TIMES `5-1=9]라는 것을 알 수 있다.

⑵ [eqn: a _{101}]

어느 군인지 알기 위해서 부등식을 세워 보면

[eqn: 2 ^{n} -1<101], [eqn: 2 ^{n} <102], [eqn: n<7]라는 것을 알 수 있다. 따라서 제6군에 속해 있다.

제5군까지 항의 개수는 [eqn: 2 ^{6} -1]=63개이고, 따라서 101번째 항은 제6군 38번째 항이라는 것을 알 수 있다. 따라서 [eqn: a _{101} =2` TIMES `38-1=75]라는 것을 알 수 있다. [답]

14. 1501 김민서(연습문제 12-21 변형)

[변형 동기]

연습문제 12-21을 풀면서 자연수들의 합을 나타내는 꼴이 달라진다면 어떻게 될지 생각해보았다. 등차수열의 합의 꼴을 변형시키기 위하여 자연수가 아닌 홀수의 합으로 문제를 변형하였고, 문제를 푸는 과정에서의 대소 비교도 다시 해보게 되었다.

[풀이]

m, n을 자연수라고 할 때

[eqn: 2m-1+2(m+1)-1+ CDOTS +2(m+n)-1=496]

[eqn: 2[m+(m+1)+(m+2)+ CDOTS +(m+n)]-(n+1)=496]

[eqn: 2 TIMES {(n+1)[m+(m+n)]} over {2} -(n+1)=496]

[eqn: (n+1)(2m+n-1)=496]

[eqn: 496= 2^{4} TIMES31]

[eqn: THEREFORE(n+1)(2m+n-1)=2 ^{ 4} TIMES31]

둘 다 짝수이어야 하므로

[eqn: (n,m)=(1,`124),`(3,`61),(7,`28)]

[eqn: THEREFORE (247,249),`(121,123,125,127),`(55,57, CDOTS ,69)] [답]

15. 1514 진우(연습문제 14-19 변형)

[변형 동기]

정석 연습문제 14-19번의 4, 44, 444, 4444, ... 제n항까지의 합, 1, 12, 121, 1212, ... 제2n항까지의 합을 구하는 문제에서 일정한 수들이 계속 나열되는 규칙이 아닌 계속해서 숫자 값이 증가하는 경우는 어떻게 풀 수 있을까? 라는 생각이 들어 이 문제를 만들게 되었다.

[풀이]

각 항을 정리하면 (111...111) + (22...222) + ... + (n) = (n자리수 111...111) + 2(n-1자리 수 11...111) + ... + n임을 알 수 있다. 즉, [eqn: s_n]은 다음과 같이 정의할 수 있다.

[eqn: s_n = (111 CDOTS111)+2(111 CDOTS111)+3(111 CDOTS111)+ CDOTS(n)]

이 때 n자리수 111...111은 등비수열 1+10+100+...+[eqn: 10^n-1]의 합과 같다. 등비수열의 합의 공식을 이용하여 계산하면,
[eqn: 1+10+100+ CDOTS +10 ^{n-1=} {10 ^{n} -1} over {9}]와 같다.

[eqn: s _{n} = {1} over {9} (10 ^{n} -1)+ {2} over {9} (10 ^{n-1} -1)+ {3} over {9} (10 ^{n-2} -1)+ CDOTS + {n} over {9} (10-1)].

이를 정리하면, [eqn: s _{n} = {1} over {9} LEFT { 10 ^{n} +2(10 ^{n-1} )+3(10 ^{n-2} )+ CDOTS +n(10-1)-(1+2+ CDOTS +n) RIGHT }# s _{n} = {1} over {9} ( sum _{k=1} ^{n} k TIMES 10 ^{n+1-k} - sum _{k=1} ^{n} k)]

여기서 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k` TIMES `10 ^{n+1-k}]는 등차수열과 등비수열의 곱으로서 이루어진 멱급수이다. 이를 일반항으로 정리해보면,

[eqn: g(n)=10 ^{n} +2(10 ^{n-1} )+ CDOTS +10n``...`①]이라 하자.

[eqn: 10g(n)`=`10 ^{n+1} +10 ^{n} `+ CDOTS +10 ^{2} -10n) CDOTS ②]이다. 여기서 ②-①을 계산하면, [eqn: 9g(n)=10 ^{n+1} +10 ^{n} +` CDOTS `+`10 ^{2} -10n]이므로,
[eqn: g(n)= {1} over {9} (10 ^{n+1} +10 ^{n} +` CDOTS `+`10 ^{2} -10n)]이다. 등비수열의 합을
공식을 이용하여 정리하면, [eqn: g(n)= {1} over {9} ( {10 ^{n+2} -10 ^{2}} over {9} -10n)],
[eqn: g(n)= sum _{k=1} ^{n} k` TIMES `10 ^{n+1-k}]이므로, [eqn: s _{n} = {1} over {9} ( sum _{k=1} ^{n} k` TIMES `10 ^{n+1-k} - sum _{k=1} ^{n} k)]에 대입하면, [eqn: s _{n} = {1} over {9} ( {1} over {9} ( {10 ^{n+2} -10 ^{2}} over {9} -10n)- {n(n+1)} over {2} )]이라고 할 수 있다.

따라서, [eqn: s _{n} `=` {10 ^{n+2} -10 ^{2}} over {9 ^{3}} - {10n} over {9 ^{2}} - {n(n+1)} over {18}]. [답]

16. 1502 김보민(연습문제 12-14 변형)

[변형 동기]

기존의 연습문제에서는 직각삼각형에서 세 변의 길이가 등차수열인 상황에서 내접원의 반지름이 등차수열의 공차와 동일함을 보였다. 이에 직각삼각형의 세 변의 길이가 조화수열인 경우에도 이와 같이 내접원의 반지름과 공차가 동일하다는 성질을 적용할 수 있는지에 대한 아이디어를 떠올렸고, 이와 관련된 여러 가지 상황을 시도하다가 조화수열의 각 항의 역수를 취하여 직각삼각형을 만들면 원래의 조화수열이 직각삼각형이 될 수 없다는 것을 알았고 조화수열을 이루는 항을 각 변으로 가지는 일반적인 삼각형의 내접원으로 문제 상황을 변형하여 보았다.

[풀이]

[eqn: I]의 반지름

[eqn: r= {2S} over {a+b+c} = sqrt {{(s-a)(s-b)(s-c)} over {s}} (s= {a+b+c} over {2} )-①],

[eqn: a]와 [eqn: c]를 [eqn: b]에 대해 나타내야 한다.

등차수열 [eqn: rm a _{n} rm = {1} over {c} ,`` {1} over {b} ,` {1} over {a}]를 공차 [eqn: d]로 표현하면 [eqn: rm {a _{n} rm }= {1} over {b} -d,` {1} over {b} ,` {1} over {b} +d]
피타고라스 정리 : [eqn: ( {1} over {a} ) ^{2} =( {1} over {b} ) ^{2} +( {1} over {c} ) ^{2}],
[eqn: ( {1} over {b} +d) ^{2} =( {1} over {b} ) ^{2} +( {1} over {b} -d) ^{2}], [eqn: {1} over {b} ( {1} over {b} -4d)=0], [eqn: {1} over {b} != 0]이므로 [eqn: {1} over {b} =4d,`d= {1} over {4b}]

직각삼각형 [eqn: A prime B prime C prime]에서 내접원 [eqn: I prime]의 반지름의 길이
[eqn: r ^{prime } = {{1} over {b} + {1} over {c} - {1} over {a}} over {2} = {4d+3d-5d} over {2} =d].

[eqn: I prime]의 반지름 [eqn: r prime =d= {1} over {4b} -②]

[eqn: {1} over {a} = {1} over {b} +r= {1} over {b} + {1} over {4b} = {5} over {4b} ,``a= {4} over {5} b`-③]

[eqn: {1} over {c} = {1} over {b} -r= {1} over {b} - {1} over {4b} = {3} over {4b} ,`c= {4} over {5} b`-④]

①에 [eqn: s]를 대입하여 정리하면 [eqn: I] 반지름
[eqn: r= {1} over {2} sqrt {{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} over {a+b+c}} = {b} over {30} sqrt {{2737} over {47}}],

[eqn: {r} over {r` prime } = {{b} over {30} sqrt {{2737} over {47}}} over {{1} over {4b}} = {2} over {15} b ^{2} sqrt {{2737} over {47}}],

[eqn: p=15,`q=2], [eqn: THEREFORE p+q=17] [답]

17. 1518 허형석(연습문제 15-13, 15-17 통합 변형)

[변형 동기]

이규환 선생님께서 수업하신 정석 수학-(하) 15단원, 수학적 귀납법 문제를 풀어보다가 [eqn: S _{n}]과 [eqn: a _{n}]이 문제 속 관계식에 함께 들어있는 문제를 풀어보게 되었고, 연습문제에 나와 있는 것과 같이 [eqn: a _{n}]를 선생님께서 알려주신 점화식들을 응용하여 수업시간에 배운 내용들을 조금 더 응용해야지만 풀 수 있는 문제를 만들어보고 싶다는 생각을 하게 되었다. 그 결과 이러한 문제를 만들어 보게 되었다.

[풀이]

[eqn: 2A _{n+1} =2(S _{n+1} -S _{n} )]로 고쳐주고, 식을 정리해 주게 되면,
[eqn: S _{n+1} =1.5S _{n} +1.5n]가 된다. 양변에 [eqn: (1.5) ^{n+1}]을 나누어주고, 식을 정리해 주게 되면, [eqn: {S _{n+1}} over {(1.5) ^{n+1}} = {S _{n}} over {(1.5) ^{n}} + {n} over {(1.5) ^{n}}]가 된다. [eqn: {n} over {(1.5) ^{n}}]을 f(n)으로 두고, [eqn: {S _{n}} over {(1.5) ^{n}}]을 [eqn: P _{n}]이라고 두게 되면, [eqn: P _{n+1} =P _{n} +f(n)]이 된다. 이는 계차수열의 풀이법을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 그러면, [eqn: P _{n}]에 관한 식인, [eqn: P _{n} =P _{1} +f(1)+f(2)+...`+f(n-1)]가 나오게 된다.

따라서, [eqn: P _{n}]=[eqn: P _{1}]+[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} f(k)] 가 된다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} f(k)]를 S라고 하게 되면 다음과 같은 식이 만족하게 된다.       [eqn: S= {1} over {1.5} + {2} over {1.5 ^{2}} + {3} over {1.5 ^{3}} +....``+ {n-1} over {1.5 ^{n-1}}# {S} over {1.5} =`````````````` {1} over {1.5 ^{2}} + {2} over {1.5 ^{3}} +....``+ {n-2} over {1.5 ^{n-1}} + {n-1} over {1.5 ^{n}}]

따라서 위에서 아래식을 빼주게 되면
[eqn: {1} over {3} S=( {1} over {1.5} + {1} over {1.5 ^{2}} +....`+ {1} over {1.5 ^{n-1}} )`- {n-1} over {1.5 ^{n}}]과 같이 정리할 수 있다. 그러면

[eqn: {1} over {1.5} + {1} over {1.5 ^{2}} +....`+ {1} over {1.5 ^{n-1}} = {{2} over {3} (1-( {2} over {3} ) ^{n-1} )} over {1- {2} over {3}} =2(1-( {2} over {3} ) ^{n-1} )]가 된다.

따라서 [eqn: S=6(1-( {2} over {3} ) ^{n-1} )- {3n-3} over {1.5 ^{n}}]가 된다.

[eqn: {S _{n}} over {1.5 ^{n}} = {A _{1}} over {1.5} +6(1-( {2} over {3} ) ^{n-1} )- {3n-3} over {1.5 ^{n}}]=>　[eqn: S _{n} =A _{1} (1.5) ^{n-1} +1.5 ^{n} (6(1-( {2} over {3} ) ^{n-1} ))-3n+3]

[eqn: S _{n} =A _{1} (1.5) ^{n-1} +1.5 ^{n} (6(1-( {2} over {3} ) ^{n-1} ))-3n+3]가 되어
[eqn: S _{n}]의 일반항을 구할 수 있다. 따라서
[eqn: S _{n-1} =A _{1} (1.5) ^{n-2} +1.5 ^{n-1} (6(1-( {2} over {3} ) ^{n-2} ))-3n+6]가 된다. 그러므로

[eqn: S _{n} -S _{n-1} =A _{n}][eqn: =A _{1} ((1.5) ^{n-1} -(1.5) ^{n-2} )+((1.5 ^{n} (6(1-( {2} over {3} ) ^{n-1} )))# -(1.5 ^{n-1} (6(1-( {2} over {3} ) ^{n-2} )))-3]

따라서 [eqn: A _{n} =A _{1} ((1.5 ^{n-2} )(1.5-1))+3 TIMES 1.5 ^{n-1} -3]가 된다.
(정리 과정은 생략하였음.)

따라서 [eqn: A _{n} =A _{1} TIMES 0.5(1.5 ^{n-2} )+3 TIMES 1.5 ^{n-1} -3] [답]

18. 1505 배지혁(연습문제 12-7 변형)

[변형 동기]

문제를 풀고 나서 나누어떨어진다, 나누어떨어지지 않는다는 조건 외에 나머지가 무엇인 수의 합을 구하는 문제로 바꾸면 어떻게 될지 궁금해져서 나머지에 대한 조건 외에도 조건을 여러 가지 추가하여 문제를 만들어 보았다.

[풀이]

(1) 4로 나누었을 때 3이 남는 수는 [eqn: 4k+3]로 둘 수 있다. 이 중 6으로 나누었을 때 나머지가 1인 경우를 찾아보면 [eqn: 12n+7]일 때 이다.
[eqn: 12n+7]은 세 자리 수이기 때문에 [eqn: 100 LEQ 12n+7 LEQ 999]이고, 이때 n 값의 범위는 8이상 82이하로 [eqn: 12n+7]은 초항이 103이고 공차가 12인 등차수열 85번째 항까지를 지시한다.
등차수열의 합 공식을 사용해서 이를 계산하면
[eqn: {2 TIMES 103+84 TIMES 12} over {2} TIMES 85=147,900]. [(1)의 답]

(2) 4 또는 6으로 나눈 나머지가 1인 수는 [eqn: 12n+1]이고, 이 중 5로 나눈 나머지가 2인 수는 [eqn: 60k+37]의 꼴이다. 이는 세 자리 수이므로 k는 2이상 16이하이다. 이는 초항이 157이고 공차가 60인 등차수열의 15번째 항까지 합을 지시하므로, 계산하면
[eqn: {2 TIMES 157+14 TIMES 60} over {2} TIMES 15=147,600]. [(2)의 답]

(3) 4로 나눈 나머지가 3이고 3으로 나눈 나머지가 2이고 5로 나눈 나머지가 4인 수는 [eqn: 60n-1]의 꼴이다. 이는 세 자리 수이므로 n은 2이상 16이하이다. 이는 초항이 119이고 공차가 60인 등차수열의 15번째 항까지의 합을 지시하므로, 계산하면
[eqn: {2 TIMES 119+14 TIMES 60} over {2} TIMES 15=113,400]. [(3)의 답]

19. 1506 손여진(연습문제 13-10 변형)

[변형 동기]

13-10 문제에서 [eqn: a _{n}]이 등비수열이라면 [eqn: {1} over {2a _{n} +a _{n+1}}]역시 등비수열이라는 것을 보고 만약 분모의 등비수열들의 계수와 분모에서 합해지는 등비수열 등의 개수가 변하는 등비수열 역시 등비수열이 될까는 의문이 생겨 문제를 변형해 보게 되었다.

[풀이]

[eqn: a _{n} =a _{1} TIMES r ^{n-1}]이라고 두자. {[eqn: {1} over {x _{1} a _{n} +x _{2} a _{n+1} + CDOTS +x _{m} a _{n+m-1}}]}에
[eqn: a _{n} =a _{1} TIMES r ^{n-1}]를 대입하여 정리하면 위 수열은
[eqn: {1} over {ar ^{n-1} (x _{1} +x _{2} r+x _{3} r ^{2} + CDOTS +x _{m} r ^{m-1} )}]라고 할 수 있고,
[eqn: {1} over {a(x _{1} +x _{2} r+x _{3} r ^{2} + CDOTS +x _{m} r ^{m-1} )}]는 상수이므로 이는 첫 항이
[eqn: {1} over {a(x _{1} +x _{2} r+x _{3} r ^{2} + CDOTS +x _{m} r ^{m-1} )}]이고 공비가 [eqn: {1} over {r}]인 등비수열이라고
할 수 있다. ■.

20. 1509 장민준(연습문제 13-12 변형)

[변형 동기]

등차수열이 n에 관한 함수로 표현하면 일차함수 꼴로 표현이 된다는 것에 흥미를 느꼈기 때문에 본 문제를 변형하게 되었다.

[풀이]

임의의 연속한 세 자연수를 넣었을 떄 나온 함숫값이 등차가 3인 등차수열을 이룬다고 했기 때문에 [eqn: x ^{3} +px ^{2} +qx+24=3x]의 근이 위 문제에서 말한 공차가 1인 수열에서 임의로 뽑은 세 수가 된다.
[eqn: (x-n+1)(x-n)(x-n-1)=x ^{3} +px ^{2} +qx+24-3x]가 되므로 전개해서 계수 비교법을 써주게 되면 상수항에서 n이 3이라는 사실을 알게 된다. 계수비교법으로 p,q를 구해주게 되면 [eqn: p=-9,``q=26]. [답]

21. 1519 홍민성(연습문제 15-16 변형)

[변형 동기]

정석의 이 문제를 보고 좀 새로운 수학적 매개체를 들고 와야겠다는 생각이 들었다. 그래서 스트링아트 모양을 가지고 와서 하면 어떨까? 라는 고민을 하게 되었고, 이 문제로서 그 고민을 표현해보았다.

[풀이]

직관적으로 좌표를 생각할 때
[eqn: A _{1} (0,1),``A _{2} (1,a),`A _{3} (a,a-1),`A _{4} (a-1,0),` CDOTS]와 같은 형식으로 가며, 이 네 과정을 거치면 원래의 선분으로 돌아오게 됨을 알 수 있다.

그렇다면, 점들을 그 x좌표를 4로 나눈 나머지로 구분하여 생각할 수 있다.

x좌표에 대하여, [eqn: x _{4k+1````} =0``], [eqn: x _{4k+2````} =[n/4]`+1], [eqn: x _{4k+3`} =a],
[eqn: x _{4k``} =a-([n/4]+1)``]의 형태이고,

y좌표 또한 [eqn: y _{4k+1````} =[n/4]+1``], [eqn: y _{4k+2````} =a# `], [eqn: y _{4k+3`} =a-([n/4]+1)``],
[eqn: y _{4k``} =0`] 의 형태가 된다. (여기서 k는 0이상의 정수)
여기서 점화식은 [eqn: x _{k} =y _{k-1}]이 되는 좌표형태라는 것을 알 수 있다.

문제에서 [eqn: A _{42}]의 좌표를 물어보았으므로, [eqn: 42=4` TIMES `10+2]에서, [eqn: 4k+2]의 꼴임을 알 수 있다. 따라서, [eqn: A _{42} =(11,a)]. [답]

22. 1504 박효은(연습문제 12-10 변형)

[변형 동기]

문제를 풀면서 이 문제를 일반적인 상황에 대해 나타낼 수 있을지 의문이 들어 일반화하면서 변형을 시작했다. 변형을 하다 보니 [eqn: a _{2}]이후의 값과 [eqn: a _{1}]의 값이 관계없음을 알게 되었고, 이에 [eqn: a _{1}]까지 수열을 일반화하려면 어떻게 해야 할 지 생각하다보니 2번 문제를 넣게 되었다.

[풀이]

(1) [eqn: S _{2n-1} =p+(n-1) alpha ,`S _{2n} =p+q+(n-1) beta]

[eqn: a _{2n-1} =S _{2n-1} -S _{2(n-1)}# =p+(n-1) alpha -p-q-(n-2) beta = beta -q+(n-1)( alpha - beta )]

[eqn: a _{2n} =S _{2n} -S _{2n-1} =p+q+(n-1) beta -p-(n-1) alpha =q-(n-1)( alpha - beta )]

[eqn: a _{1} =p,```S _{1} = beta -q]이므로,

[eqn: a _{1} =p,# a _{2n-1} = beta -q+(n-1)( alpha - beta )``(n GEQ 2인`자연수),# a _{2n} =q-(n-1)( alpha - beta )``(n은`자연수)]

[(1)의 답]

(2) [eqn: a _{2n-1}]에서 [eqn: `n=1]을 대입한 값이 [eqn: a _{1}]과 같아야 하므로

[eqn: beta -q+(1-1)( alpha - beta )=p,`p+q= beta]여야 한다.

혹은 [eqn: a _{n}]의 일반식을 [eqn: a _{1} ,`a _{2n} ,`a _{2n+1}]로 나누면

[eqn: a _{1} =p,# a _{2n} =q-(n-1)( alpha - beta )`,# a _{2n+1} = alpha -q+(n-1)( alpha - beta )``(n은`자연수)]

[(2)의 답]